2026 3.0 예제 216번 답변완료김**2026.08.12 ㅣ 6 |
안녕하세요 2026 3.0 예제 216번 질문드립니다.
이전에도 편도함수구하는 것에 대해 질문드린 적이 있는데 아직 100%이해가 되지 않아서 비슷한 내용으로 한번더 질문드리게 됐습니다.
f_x(0,0)을 구할 때 주어진 함수는 원점에서 분기점이기 때문에 정의대로 푸는 것이 정석적인 방법이라고 생각했습니다. 그런데 강의 풀이에서는 f(x,0)=0 => f_x(x,0)=0 => f_x(0,0)=0으로 풀이해주셨습니다. 이 로직의 경우 매끄러운 구간에서 적용이 가능하고 분기점에서 적용이 안되는 것으로 이해하고 있었습니다. 물론 원점에서 함수가 0이라서결론은 같게 나오지만 정의대로 접근해야하지 않나라는 궁금증이 생겼습니다. 혹은 정의대로 접근한 것이 맞는데 제가 오개념이 있어서 잘못받아들이고 있는지 질문드리고싶습니다.
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| [답변완료] 2026.08.12 |
안녕하세요 오태훈 선생님 조교입니다.
네, 정의대로 접근하는 것이 가장 정확하고 안전한 방법이 맞아요.
강의에서 보여주신 풀이 역시 정의를 축약해서 표현한 것일 뿐, 근본적으로는 정의대로 푼 것과 완전히 동일한 과정이에요.
f_x(0,0)을 구한다는 것은 y를 0으로 고정하고 x에 대해서만 미분하는 것을 의미해요. y를 0으로 고정했을 때의 함수 f(x,0)을 먼저 살펴볼게요.
x가 0이 아닐 때는 f(x,0) = (x * 0^2) / (x^2 + 0^4) = 0 이에요. 그리고 x가 0일 때도 문제 정의에 의해 f(0,0) = 0 이에요. 즉, y가 0인 선 위에서는 x의 값과 상관없이 함수 f(x,0)이 항상 0인 상수함수가 돼요.
상수함수 0을 x에 대해 미분하면 항상 0이 되므로 f_x(x,0) = 0이 되고, 여기에 x=0을 대입한 f_x(0,0)도 0이 되는 거예요.
이것은 편미분계수의 정의식인 lim (h→0) [f(h,0) - f(0,0)] / h 에 f(h,0) = 0과 f(0,0) = 0을 대입하여 lim (h→0) [0 - 0] / h = 0 으로 계산하는 것과 완전히 같은 원리예요.
추가로 더 설명을 드려보자면, 분기점이라서 이 방법을 쓰면 안 된다고 느끼신 이유는 보통 y가 변수로 살아있는 상태에서 구한 일반적인 도함수 f_x(x,y)에 단순히 (0,0)을 대입하려고 할 때 발생하는 오류 때문이에요.
(x,y)가 (0,0)이 아닐 때 공식으로 구한 도함수 f_x(x,y)에 극한을 취하거나 대입하는 것은 분기점에서 함부로 사용할 수 없지만, y를 미리 0으로 고정해두고 x에 대해서만 미분하는 것은 정의를 그대로 따르는 것이기 때문에 분기점에서도 항상 안전하게 사용할 수 있어요. |
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